LA VALENZA IMMAGINARIA COME SIMBOLO di IRRAZIONALE

 

Se si cominciano a proiettare i numeri negativi scoprendone la valenza immaginaria che poi attraverso la moltiplicazione per il suo coniugato ovvero lo stesso numero ma di segno invertito, restituisce  la sua parte reale si perviene a risultati davvero di interesse , risultati pero' , spurgati da quel razionale che mi ha sempre dato tanto fastidio in quanto correlata a quello che ho sempre considerato il peggiore dei filosofi : Giorgio Hegel. Con un reale non più razionale, ma anzi marchiatamente irrazionale si ha, a mio parere,  il destro per pervenire al registro del simbolico e quindi al linguaggio specifico dell’inconscio. Ricordiamo che è proprio grazie al calcolo infinitesimale che passiamo da uno stato ad un flusso e quindi a quella funzione d’onda che con la coniugazione  del numero negativo riflesso produce appunto quei numeri reali nel registro simbolico, dove ci si misura anche con l’irrazionale (chi potrebbe negare che nel funzionamento dei sogni, delle fantasie, e di tutto l’armamentario dell’inconscio non sia presente un dato di irrazionalità?) .Chiaramente la radice quadrata di un numero negativo non può essere rappresentata sul piano cartesiano, perché è un numero che rompe le regole dei numeri cartesiani di tutti i giorni. Ma per questo motivo non è un numero che ha meno diritti degli altri, è semplicemente un numero diverso che merita il proprio “asse cartesiano”, magari con un nome diverso. I matematici dei secoli successivi definirono quindi i numeri immaginari come un’estensione dei numeri reali, aventi la loro algebra e i loro assiomi. il numero “1″ è un numero “normalissimo”, reale, che rispetta gli assiomi dei numeri reali. Tuttavia è sommato (o sottratto) con un numero immaginario (la radice di -1). Che senso ha, e come può essere rappresentato questo numero? I matematici lo definirono numero complesso, cioè un ibrido tra numero reale e numero immaginario. Un numero complesso venne definito come un oggetto costituito da due parti: una parte reale e una parte immaginaria. La parte reale e la parte immaginaria sono rappresentate comunque da numeri reali, quindi in un certo senso un numero complesso non è altro che una coppia di numeri reali che soddisfa alcune proprietà speciali. Vedremo tra poco il senso di questa affermazione. Per comodità di notazione fu definito un simbolo speciale per l’unità immaginaria, “i“, in modo che ogni numero immaginario sia un suo multiplo:

Dal XVIII secolo in poi i numeri complessi vennero considerati un’estensione dei numeri reali, nel senso che un numero reale non è altro che un numero complesso con parte immaginaria nulla.

 Prendiamo un vettore a componenti reali, innocentissimo, bidimensionale: una freccia. Se moltiplichiamo il vettore per il numero “-1” ne invertiamo la direzione:

Siccome i vettori possono essere ruotati sul piano, possiamo interpretare l’inversione come una rotazione di un angolo piatto!

La rotazione di 180 gradi di un vettore restituisce il suo inverso.

Quindi il numero -1 è un numero molto speciale perché esegue la stessa mansione di una rotazione di 180 gradi. Il punto è che potremmo anche arbitrariamente pensare che la rotazione di 180 gradi sia un processo a due step, una composizione di due rotazioni di 90 gradi:

Due rotazioni consecutive di 90 gradi generano una rotazione di 180 gradi.

Uno può quindi chiedersi: esiste un numero speciale in grado di ruotare un vettore di 90 gradi moltiplicando entrambe le sue componenti per esso?
Assumiamo che esista, a quel punto dobbiamo riconoscere che moltiplicare il vettore due volte consecutive per questo numero equivale a ruotare il vettore di 180 gradi, e quindi questo numero deve avere a che fare con “-1″, perché esegue la stessa azione

Applicare due volte la moltiplicazione per un numero speciale “a” equivale a ruotare il vettore di 180 gradi.

Quindi se il vettore è ruotato di 180 gradi deve valere

Quindi il quadrato di questo numero deve dare -1: deduciamo che “a=i”, cioè proprio l’unità immaginaria. Possiamo quindi sostenere che i numeri complessi possono essere utilizzati per ruotare degli oggetti! Per questo motivo i matematici inventarono un piano cartesiano dedicato ai numeri complessi, il piano di Gauss! In questo piano abbiamo due assi: l’asse reale e l’asse immaginario. Un numero complesso è “molto simile” a un vettore, perché ha una componente reale a una componente immaginaria date dalle proiezioni su questi assi ortogonali:

Il piano di Gauss dei numeri complessi.

Il vantaggio algebrico di avere un numero che moltiplicato per se stesso dà “-1” è il potere di ruotare degli oggetti moltiplicandoli tra loro! Se prendiamo come riferimento l’angolo tra il numero complesso e l’asse reale, la moltiplicazione di due numeri complessi ha l’effetto di produrre un nuovo numero complesso avente come nuovo angolo la somma degli angoli iniziali, come mostrato in figura:

La moltiplicazione di due numeri complessi ha restituito un numero complesso la cui angolazione è data dalla somma dei due angoli iniziali: abbiamo quindi eseguito una rotazione usando la moltiplicazione.

Infatti si ha, per le regole stabilite sopra:

E questa è secondo me la principale utilità dei numeri complessi: ci permettono di trasformare oggetti usando la notazione più compatta possibile. Infatti se “ρ” è il modulo del numero complesso (definito proprio come il modulo dei vettori):

Il modulo di un numero complesso si ottiene facendo la radice della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria (esclusa la “i” ovviamente).

Allora possiamo scrivere le componenti reale e immaginaria usando la trigonometria proprio come si fa per i vettori in notazione polare. Se θ è l’angolo formato con l’asse reale si ha

La quantità tra parentesi (che ha modulo unitario per via della relazione trigonometrica fondamentale) può essere semplificata usando una relazione utilissima dimostrabile in analisi matematica, la quale lega il numero di Eulero con i numeri complessi:

La famosa relazione di Eulero. Può essere dimostrata sviluppando in serie di Taylor entrambi i membri dell’equazione.

Quindi un numero complesso può essere espresso con la elegantissima notazione

Un numero complesso in notazione polare.

La moltiplicazione di due numeri complessi ha quindi il seguente effetto:

Con questa notazione è anche più facile vedere che gli angoli si sommano, grazie alla proprietà degli esponenziali. In sostanza, i numeri complessi sono davvero uno spasso (di sicuro sono meno monotoni dei numeri reali),. In sostanza, non solo non esiste un modo semplice per formulare la meccanica quantistica usando solo variabili reali, ma la versione della teoria senza numeri complessi non è in grado di replicare le previsioni sperimentali della teoria complessa. Tanto per rimanere in tema di Fisica, i numeri immaginari sono rilevantissimi nella teoria della relatività ristretta  in quanto giocano  un ruolo  significativo nel calcolo  della separazione spazio/temporale e quindi si rivestono sempre per la solita moltiplicazione col loro coniugato, di irrazionalità che gioca una parte fondamentale nel registro simbolico, anzi per la precisione  nella relatività il fattore temporale è immaginario  ed è dato appunto da “ i”    x  “c” dove “c” è la velocità della luce. Diciamo quindi che  il fattore immaginario è coniugato a quello riflesso di segno ed è sempre inferiore a quello spaziale, ovvero  per quanto riguarda gli eventi  in cui c’è molto movimento  spaziale in intervalli di tempi brevi  i numeri che descrivono la separazione spazio/temporale  sono reali e quelli immaginari possono essere omessi per tornare nei calcoli una volta restituiti al reale, ma irrazionale, ed ecco quindi che abbiamo  l’ambito precipuo della relatività : fu il fisico Stephen Hawking.Condannato da una terribile malattia alla paralisi progressiva Hawking riusciva a comunicare solo con una macchin che trasferiva gli impulsi in parole,  che applicò la teoria della relatività e quindi il calcolo infinitesimale, con tanto di equazione d’onda e un forte riferimento alla teoria delle stringhe, anzi delle Super stringhe, all’origine dell’Universo: il punto è che, lo ammetto, ho avuto anche io , sempre una forte attrazione per i numeri negativi quel “ -1” mi ha sempre dato l’idea di contrastare la spocchia dei razionalisti e super positivisti, per non dire peggio progressisti e modernisti  come un mio vecchio ex amico, che oggi mi guarderei bene  persino da rivolgergli la parola, stante che da buon sinistroide è ovviamente oggi un convinto e fanatico scientista, vaccinista inde-fesso, seguace dei vari Soros, Gates, Fauci, Draghi etc. e del loro tentativo di deciso affossamento della Libertà  che diceva  sempre “non siamo mica all’anno zero!” “già !...” rispondevo io a quella sua asserzione presuntuosa, presupponente e sostanzialmente ignorante  “non siamo all’anno zero, infatti siamo all’anno meno uno”  :  fascino dei negativi, delle mancanze che debbono essere ricolmate, di quel che manca al reale per divenire non razionale, ma comprendere nella sua varietà soprattutto l’irrazionale che per me e per tutti coloro che amano il dubbio, l’incertezza, la non sicurezza si identifica con il “simbolico” quel ri-mettere insieme le cose del mondo che la coscienza ha diviso e separato : il caro vecchio “-1”, che diventa ancora più fascinoso e stimolante se poi usi la proiezione, giustappunto  la radice quadrata, entrando quindi nel mondo dei numeri immaginari, che sostanzialmente rappresentano una ulteriore possibilità per i numeri reali di comprendere, se non il tutto, perlomeno molto di più della cosidetta realtà, indagando le sue accezioni immaginarie e quindi pervenendo alla complessità del conscio e dell’inconscio, resi calcolabili grazie all’inversione coi coniugati  e l’accesso al simbolico. Riprendiamo però da Stephen Hawking che come sopraccennato fu il primo a coniugare la teoria della relatività di Einstein (direi più quella ristretta) all'origine dell'Universo: quale fu il suo ragionamento? bhe  considerando il fatto che all'inizio di un processo di origine  la materia è molto condensata, si suppone che non ci sia questo gran movimento  e quindi la separazione spazio/temporale  può essere assimilata ad una entità immaginaria, per cui è del tutto legittimo usare numeri immaginari ovvero proiezioni di numeri negativi. In particolare Hawking si accorse che tale separazione spazio/temporale  diventava immaginaria quando le  le distanze spaziali erano meno significative di quelle temporali e questo può applicarsi non solo ad un inizio tipo l'universo, ma a tutti gli inizi di un qualcosa , moltiplicandosi quindi all'infinito tale processo, persino al quotidiano della nostra vita : consideriamo ad esempio una distanza tra Londra  e New Jork  presa la prima alle 17,07 la seconda alle 17,00: è chiaro che la distanza di circa 8000 chilometri  è più significativa di quella temporale che è di soli 7 minuti - se ora  calcoliamo la separazione spazio/temporale tra una stessa città di un solo minuto , la dimensione spaziale diventa prossima al nulla, mentre quella temporale è giustappunto di un minuto. Questo significa che abbiamo viaggiato nel tempo, ma non nello spazio, per cui il termine spaziale non è reale, ma immaginario. Il colpo di genio di Hawking fu di ipotizzare  che anche gli intervalli di tempo di questi primissimi istanti di ogni inizio, potessero essere immaginari (proiezioni di negativi), egli ipotizzò infatti che  i fattori temporali coinvolti  all'inizio dell'Universo  fossero molto molto piccoli, ecco....infinitesimali! Dato che a causa di tale infinitesimale non si può misurarli ecco che scatta il procedimento della proiezione di negativi, ovvero accedere al fattore immaginario: sostituendo il tempo dell'inizio con un numero immaginario, la separazione spazio/temporale  risulta reale se moltiplicata per il coniugato dell'immaginario, accedendo all'insieme dei numeri complessi spurgato di quell'accezione di razionale, ovvero un  conscio che non consentiva di pervenire al simbolico e quindi all'inconscio. Una volta tornato reale con il suo correlato di irrazionale, ecco che simbolicamente anche  l'inizio dell'Universo, come tutti gli inizi,  poteva essere assimilato ad una realta'.